这是本博客公开发表的第 100 篇文章🎉🎉

开篇先用真值表镇楼：

P	Q	合取 $P\wedge Q$	蕴含 $P\to Q$
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	0
1	1	1	1

例子引入

在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下列两个命题符号化 ^[1]。

凡人都呼吸。
有的人用左手写字。

其中，

(a) 个体域 D1 为人类集合；

(b) 个体域 D2 为全总个体域。

请思考后作答。

例题答案

(a) 令 F(x)：x 呼吸，G(x)：x 用左手写字。

$\forall x F(x)$
$\exists xG(x)$

(b) 引入特性谓词M(x)：x 是人。

$\forall x(M(x)\to F(x))$
$\exists x (M(x)\wedge G(x))$

为什么不同的量词在个体域变为总个体域时，命题需要作出这样的变化？又为什么不是反过来的，比如存在量词变化为蕴含的形式，全称量词变化为合取的形式？

课本描述

不同课本在提到这个知识点时的表述如下。

左孝凌等人主编的《离散数学》这样写到 ^[2]：

使用总个体域后，对每一个客体变元的变化范围，用特性谓词加以限制。一般有：

对于全称量词，特性谓词常作为蕴含的前件

对于存在量词，特性谓词常作为合取项

屈婉玲等人主编的《离散数学》第 2 版中，针对这道例题有相应的说明 ^[3]：

如果 (b)1.答案为 $\forall x(M(x)\wedge F(x))$ ，这是不对的。若将它翻译成自然语言，则应该是“宇宙间的所有个体都是人并且都呼吸”，这显然与原义不符。

如果 (b)2.答案为 $\exists x(M(x)\to G(x))$ ，这也是不对的。将它翻译成自然语言应该为“在宇宙间存在个体,如果这个体是人,则他用左手写字”,这显然也不符合原意。

不管你读到那本书，如果对两个 Ling🔔 的解释还有迷惑可继续往下阅读思考。

思考讨论

首先，没有人规定必须是这样转换的。转换的最终根据还是在于是否符合原句句意。

其实在我们说话的语境中，就有一些逻辑上的暗示（或者说隐含的意思）：

当我们说「所有的人都呼吸」时，就有以下暗示：对于宇宙一切物体，如果个体是人，则他呼吸。那我们的意思就是：
a. 不管宇宙有没有「人👨」，我们都认为命题正确。宇宙没有「人👨」，全称量词不关心，但只要有「人👨」，就必须呼吸。比如一个外星人👽说：「所有的人👨都呼吸」，假设宇宙根本没有「人👨」这个生物，但我们依然认为外星人👽说的没有错。
当我们说「有的人用左手写字」时，就有以下暗示：在宇宙间存在这样的个体，它是人，且用左手写字。那我们的意思就是：
a. 必须存在一个人，且这个人用左手写字。命题才为真。
b. 宇宙中有人，但是这些人都不用右手写字。命题为假。
c. 宇宙中连「人」都不存在。命题为假。因为命题中「有的人」这三个字包含了「必须要有人」的意思。
d. 外星生物用右爪写字。这和我们的表述无关且不符。命题为假。

对于以上两个命题，我们将正确转换以及错误转换的真值列在一起供理解：

凡人都呼吸	M(x)	F(x)	表达式真值	我们认为应该的真值	解释
正确的转换： $\forall x(M(x)\to F(x))$	0	x	1	1	如果不是人。我们也认为「凡人都呼吸」命题正确，属于善意推导，符合我们的理解。
	1	0	0	0	只有这种情况，「凡人都呼吸」为假命题。
	1	1	1	1	理所当然。
错误的转换： $\forall x(M(x)\wedge F(x))$	1	1	1	1
	0	x	0	1	宇宙中没有人，但表达式为假。这违背 a.的讨论。
	1	0	0	0

$\forall x(M(x)\wedge F(x)) \iff \forall xM(x)\wedge \forall F(x)$ 。这意味着：宇宙所有的生物都是人，并且都呼吸。

「善意的推定」详见：「蕴含」与「等价」自然语言表达的理解脚注。

有的人用左手写字	M(x)	G(x)	表达式真值	我们认为应该的真值	解释
正确的转换： $\exists x (M(x)\wedge G(x))$	1	1	1	1	理所当然。
	0	x	0	0	我们必须存在这样的人。
	x	0	0	0	G(x) 为假就表示了：没有人用左手写字。
错误的转换： $\exists x(M(x)\to G(x))$	1	1	1	1
	1	0	0	0	G(x) 为假就表示了：没有人用左手写字。
	0	x	1	0	宇宙连人都没有，但是表达式的真值真。或者说，我们找到了一个外星生物，表达式告诉我们这就是真。这显然违背了 c.中的讨论。

有没有办法让 $\exists x(M(x)\to G(x))$ 正确？有，只要让 x 论域为人即可。这样 $M(x)$ 就永真了。起作用的变成了 $G(x)$ ，也就让命题变成了 $\exists xG(x)$ ，相当于例题中（a）2.的答案。

课后例题

下面我们可以尝试再做一道例题体会体会。

例子：在⼀阶逻辑中将下列命题符号化

（1）火车都比轮船快。
（2）有的火车比有的汽⻋快
（3）不存在比所有火车都快的汽车。
（4）说凡是汽车就比火车慢是不对的

解：

F(x)：x 是火车；G(y)：y 是轮船；H(x,y)：x 比 y 快。 $\forall x\forall y(F(x)\wedge G(y)\to H(x,y))$
F(x)：x 是火车；G(y)：y 是汽车；H(x,y)：x 比 y 快。 $\exists x\exists y(F(x)\wedge G(y)\wedge H(x,y))$
F(x)：x 是汽车；G(y)：y 是火车；H(x,y)：x 比 y 快。 $\neg \exists x(F(x)\wedge \forall y(G(y)\to H(x,y)))$
F(x)：x 是汽车；G(y)：y 是火车；H(x,y)：x 比 y 快。 $\neg \forall x\forall y(F(x)\wedge G(y)\to H(x,y))$