你猜猜我写这篇文章晕了几次？

无论是在高中数学、大学离散课上，对于「当」和「仅当」、必要条件和充分条件的符号记法总是这样处理的：

  • 充分条件推出必要条件
  • 小范围推导出大范围
  • 背下来就行了

含义背下来了，考试也通过了，但总是不知其所以然，无法在语义上进行通透的理解。近期翻看高中政治选择性必修课本（理科生很难接触到的书），发现里面其实讲的非常清楚。建议在学习「符号」之前了解一下语言中的「含义」将更有助于理解和消化。

假言判断中的必要条件和充分条件

假言判断

假言判断是断定事物某情况的存在（或不存在）是另一情况存在（或不存在）的条件的判断。假言判断又叫条件判断。

一个假言判断由表示条件关系的两个判断组成。

  • 表示条件的判断叫作假言判断的前件
  • 表示依赖这一条件而成立的判断叫作假言判断的后件。
  • 「如果…那么…」「只有…才…」「…当且仅当…」等，是常用来联结前件与后件的词项，叫作假言判断的联结项。

如果有前一种事物情况就必有后一种事物情况，前一种情况就是后一种情况的充分条件。

如果没有前一种事物情况就一定没有后一种事物情况，前一种情况就是后一种情况的必要条件。必要条件是产生某种事物情况所不可缺少的条件。

例子：充分条件和必要条件

例 1：如果学习方法不当，就不能提高学习效率。
解析：有了「学习方法不当」这种情况，必有「不能提高学习效率」。「学习方法不当」却「提高学习效率」是不可能的。

例 2：只有年满 18 周岁，才有选举权。
解析：在我国，「年龄不满18 岁」必出现「没有选举权」。满 18 岁只是拥有选举权的必要条件之一。

有了这种情况，必将产生某种情况；没有这种情况，必不产生该种情况。这种条件关系就是充分必要条件关系。

条件命题

命题是能表达判断的语言的陈述句。假言命题指形式为「如果 A 则 B」的复合命题，又称条件命题。
假言判断，又称条件判断，是断定一事物的存在是另一事物存在条件的复合判断。

在后文中，我们将「假言判断」和「条件命题」看成同一个概念。

联结词中的蕴含和等价

蕴含 [1]（条件）：

  • 在蕴含式「如果 p 则 q」中，记作 p→qp\to q，p 称为蕴含式的前件，q 称为蕴含式的后件。
  • q 是 p 的必要条件，p 是 q 的充分条件
  • 当且仅当 p 为 T，q 为 F 时，p→qp\to q 为 F。
  • p 和 q 可以没有因果关系
  • 联结词 →\to 亦可记作 ⊃\supset。

等价（双条件）：

  • p↔qp\leftrightarrow q 表示的基本逻辑关系：p 与 q 互为充分必要条件，相当于 (p→q)∧(q→p)(p\to q)\wedge (q\to p)
  • p 仅当 q 可译为 p→qp\to q
  • p 当 q 可译为 q→pq\to p
  • p 当且仅当 q 译为 p↔qp\leftrightarrow q
  • 等价联结词连接的两个命题之间可以没有因果关系。
  • 联结词 ↔\leftrightarrow 亦可记作 ⇆\leftrightarrows，或「iff」

「蕴含」的自然语言表述：「如果 p，则 q」有很多不同的表述方法。

  • 若 p，就 q
  • 只要 p，就 q
  • 因为 p，所以 q
  • p 仅当 q
  • 只有 q，才 p
  • 除非 q，才 p 或 除非 q，否则非 p
关于「蕴含」

本文提到的「蕴含」概念取自屈婉玲主编的《离散数学》，准确来说指的「实质蕴含」。实际上，「蕴含」和「如果…就…」还是有区别的，具体可以搜索「蕴含悖论」。

在左孝凌主编的《离散数学》（P20-P22）中，「蕴含」一词有其他含义：当且仅当 P→QP\to Q 是一个重言式时，我们称「P 蕴含 Q」，并记作 P⇒QP\Rightarrow Q。在研究生课程中（屈婉玲主编的《离散数学》）没有刻意这样定义。

真值表：

P Q 蕴含 P→QP\to Q 等价 P↔QP\leftrightarrow Q
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1

部分联结词的理解

「当」和「仅当」的理解

英语中，「当」为 if，「仅当」为 only if，「当且仅当」为 If and only if（简记 iff）。在中文中由于倒装的存在，我们对这两个词的理解加了点难度。

下面对句子含义进行理解：

  • q 当 p：p→qp\to q
    • 去掉倒装：当 p 时，有 q。
    • 真实含义：当 p 成立，q 必定成立。换句话说：如果 p 成立，则 q 成立。这是充分条件的定义。
    • p 是 q 的充分条件。
  • p 仅当 q：p→qp\to q
    • 去掉倒装：仅当 p 时，有 p
    • 真实含义：q 若不成立，p 绝对成立不了。这是必要条件的定义。
    • 若 q 成立，p 可能成立，也可能不成立。q 是 p 的必要条件。只有 q 成立，p 才可能成立。
    • 因此一看见 p 成立了 q 必定成立。

为了方便理解，在后面的例子中，p 一般就代指充分条件，q 代表必要条件。

综上：「当」是「如果…则…」的关系。「仅当」是「只有…才…」的关系。这里也顺便解释了「只有…才…」和「除非…才…」。

真值表：

语境 p q 命题真值 代入上面的解释
当 p→qp\to q 句意：q 当 p
0 0 1 善意的推定
0 1 1
1 0 0 命题要求当 p 成立，q 成立。如果实践证明这里的 q 居然是不成立，那么这个命题就是错的，所以是假命题。
1 1 1 当 p 成立，q 成立。
仅当 p→qp\to q 句意：p 仅当 q
0 0 1 q 若不成立，p 绝对成立不了。
0 1 1 当 q 成立，p 可能成立，也可能不成立。
1 0 0 p 成立了 q 肯定成立。但实践证明 q 为假，所以这个命题是错误的。
1 1 1 当 q 成立，p 可能成立，也可能不成立。

所以符号对「当」和「仅当」的解释是合理的。

假言判断的真假

假言判断既然是反映事物情况之间条件关系的判断，它的真假就不取决于前件、后件本身的真假，而取决于判断所揭示的事物之间的条件关系能否成立。有时，前件和后件都是假的，但事物情况之间确实存在着某种条件关系，这样的判断仍然可以是真的。

例：如果人可以长生不老，那么地球上的人早就没地方站了。
解释：这个假言判断的前件和后件都是假的，它所反映的这两个对象情况之间的关系却是存在的，这个判断仍然是真的。

善意的推定

善意推定，一种推定原则。当 P 为假命题时，无论 Q 是否为假命题，P→QP→Q 总为真命题，这就叫做「善意推定」。

正确理解本文提到的「当」

注意，这里的「当」应该理解为单个字当，解读为「当…就/则」。不能理解为「当…才」。比如，「当我吃饭的时候，我才刷抖音。」这里的「当」在日常语境下表达一个必要条件而不是前面说的充分条件。这里的「当……才……」更像是「仅当……才……」的略称。

「除非…否则…」的理解

上文提到「如果 p，则 q」的表述方法中有一条：

  • 除非 q，才 p 或 除非 q，否则非 p

「除非 q，否则 ¬p\neg p」理解为：

  • 「除非具备 q，如果不具备 q，则 ¬p\neg p」
  • 意思就是「如果 ¬q\neg q，则 ¬p\neg p」
  • 即 ¬q→¬p  ⟺  p→q\neg q \to \neg p \iff p\to q。
例子：「除非…否则…」

设 p 为我成功，q 为我努力。
命题：除非你努力，否则你将失败。

解：

  • 可以理解为：如果你不努力，则你将失败。
  • 翻译：p→qp\to q

案例练习

例子：「蕴含」的自然语言表达

设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服。 p→qp\to q
(2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服。 p→qp\to q
(3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷。 p→qp\to q
(4) 只有天冷，小王才穿羽绒服。 q→pq\to p
(5) 除非天冷，小王才穿羽绒服。 q→pq\to p
(6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷。 p→qp\to q
(7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服。 q→pq\to p
(8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候。 q→pq\to p
提示：¬p→¬q\neg p \to \neg q 与 q→pq\to p 等值（真值相同，假言易位）

例子：双条件命题案例

燕子飞回南方，春天来了。
我们要学习好，为祖国的现代化建设而奋斗。

区分好逻辑学中的专业术语和日常用语

在数学语言中，数学语言规定了「当」表示充分条件，「仅当」表示必要条件，没有任何歧义，相当于在数学中重新定义了两个词的含义。而在日常汉语或别的语言中，按照语感会产生很多解释。比如，「仅当」在一些场合下是可以理解为充要条件而不仅仅是必要条件。

同一个词语在两种领域中的含义是有差异的。比如在数学语言上的一些表达，对于汉语/英语来讲可能是错的：仅当 x > 1 时，x > 10 。这句话在数学语言上是正确的，但在汉语/英语语感下是错误的。

另一个例子就是「只有…才…」。前面提到，教材中将「只有 q 才 p」解读为 q 是 p 的必要条件。但是在日常中也有很多时候把「只有 q 才 p」表达解释为 q 是 p 的充要条件，特别是当做「要求」来提出的时候。比如：

  • 只有你道歉，我才会原谅你。
  • 只有交够赎金，我才会放人。

本文参考

  1. 仅给博主本人的提醒：有一个和它相似的概念「推理正确」，无论是研究生课程还是左孝凌的《离散数学》，「推理正确」定义相似。参考《离散数学》左孝凌 P20、P40。 ↩︎