笔记创建于 240321，于 260606 迁移，并增补整理文章。
定理：令 n 是一个大于 1 的整数。则如果 N 是一个正整数，就可以唯一地表示为下面的形式：
N = a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 1 n + a 0 N=a_{k}n^k+a_{k-1}n^{k-1}+\dots+a_{1}n+a_{0} N = a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 1 n + a 0 ( a k a k − 1 … … a 1 a 0 ) n (a_{k}a_{k-1}\dots\dots a_{1}a_{0})_{n} ( a k a k − 1 … … a 1 a 0 ) n
更普遍地，考虑到小数的表示的话有：令 N 是一个十进制数，它表示为下面的形式：
N = a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 1 n + a 0 + b 1 n − 1 + b 2 n − 2 + . . . + + b l − 1 n − ( l − 1 ) + b l n − l N=a_{k}n^k+a_{k-1}n^{k-1}+\dots+a_{1}n+a_{0}+b_{1}n^{-1}+b_{2}n^{-2}+...++b_{l-1}n^{-(l-1)}+b_{l}n^{-l}
N = a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 1 n + a 0 + b 1 n − 1 + b 2 n − 2 + . . . + + b l − 1 n − ( l − 1 ) + b l n − l
可记为 ( a k a k − 1 … … a 1 a 0 . b 1 b 2 … b l − 1 b l ) n (a_{k}a_{k-1}\dots\dots a_{1}a_{0}.b_1b_2\dots b_{l-1}b_{l})_{n} ( a k a k − 1 … … a 1 a 0 . b 1 b 2 … b l − 1 b l ) n ( a k a k − 1 … … a 1 a 0 . b 1 b 2 … b l − 1 b l ) n (a_{k}a_{k-1}\dots\dots a_{1}a_{0}.b_1b_2\dots b_{l-1}b_{l})_{n} ( a k a k − 1 … … a 1 a 0 . b 1 b 2 … b l − 1 b l ) n
数字的表示：
二进制展开式只使用 0 和 1 这两个数字。
八进制展开式使用数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 {0,1,2,3,4,5,6,7} 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
十六进制使用数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E , F
二进制数字表示法：考虑一个形如 b m b m − 1 … b 1 b 0 . b − 1 b − 2 … b − n − 1 b − n b_{m}b_{m-1}\dots b_{1}b_{0}.b_{-1}b_{-2}\dots b_{-n-1}b_{-n} b m b m − 1 … b 1 b 0 . b − 1 b − 2 … b − n − 1 b − n
b = ∑ i = − n m 2 i × b i b=\sum_{i=-n}^m 2^i\times b_{i}
b = i = − n ∑ m 2 i × b i
构造整数 n 的 b 进制展开式（基数乘除法）：
n 除以 b，得到商和余数。n = b q 0 + a 0 , 0 ≤ a 0 < b n = bq_0 + a_0, 0 ≤ a_0 < b n = b q 0 + a 0 , 0 ≤ a 0 < b a 0 a_0 a 0
q 0 q_0 q 0 q 0 = b q 1 + a 1 , 0 ≤ a 1 < b q_0 = bq_1 + a_1, 0 ≤ a_1 < b q 0 = b q 1 + a 1 , 0 ≤ a 1 < b a 1 a_1 a 1 继续将商依次除以 b，得到 b 进制的余数。当商为 0 时，进程终止。
该过程从右向左产生 n 的 b 进制数字。
任意一个二进制小数都可以用十进制小数表示。
总结：
整数部分除以基取余，最先取得的余数为最低位
小数部分乘基取整，最先取得的整数为最高位
最后结果拼接
接下来就是理解部分，设十进制数 N = I + D N=I+D N = I + D I I I N N N D D D
我们先理解「整数部分取余除以基」。观察：
I = a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 1 n + a 0 = ( a k n k − 1 + a k − 1 n k − 2 + ⋯ + a 1 ) n + a 0 \begin{aligned}
I=&a_{k}n^k+a_{k-1}n^{k-1}+\dots+a_{1}n+a_{0} \\
=& (a_{k}n^{k-1}+a_{k-1}n^{k-2}+\dots+a_{1})n + a_0
\end{aligned}
I = = a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 1 n + a 0 ( a k n k − 1 + a k − 1 n k − 2 + ⋯ + a 1 ) n + a 0
对 N 进行取余，先得到最低位 a 0 a_0 a 0
N ′ = ( N − a 0 ) / n = a k n k − 1 + a k − 1 n k − 2 + ⋯ + a 1 \begin{aligned}
N' =&(N - a_0)/n \\
=&a_{k}n^{k-1}+a_{k-1}n^{k-2}+\dots+a_{1}
\end{aligned}
N ′ = = ( N − a 0 ) / n a k n k − 1 + a k − 1 n k − 2 + ⋯ + a 1
重复取余除以基，就能依次拿到 a 1 , a 2 , . . . , a k a_1, a_2, ..., a_k a 1 , a 2 , . . . , a k
再看「小数部分乘基取整」。观察：
D = b 1 n − 1 + b 2 n − 2 + . . . + + b l − 1 n − ( l − 1 ) + b l n − l D ⋅ n = b 1 + b 2 n − 1 + . . . + + b l − 1 n − ( l − 2 ) + b l n − ( l − 1 ) \begin{aligned}
D=&b_{1}n^{-1}+b_{2}n^{-2}+...++b_{l-1}n^{-(l-1)}+b_{l}n^{-l} \\
D \cdot n =& b_{1}+b_{2}n^{-1}+...++b_{l-1}n^{-(l-2)}+b_{l}n^{-(l-1)}
\end{aligned}
D = D ⋅ n = b 1 n − 1 + b 2 n − 2 + . . . + + b l − 1 n − ( l − 1 ) + b l n − l b 1 + b 2 n − 1 + . . . + + b l − 1 n − ( l − 2 ) + b l n − ( l − 1 )
b 2 n − 1 + . . . + b l − 1 n − ( l − 2 ) + b l n − ( l − 1 ) b_{2}n^{-1}+...+b_{l-1}n^{-(l-2)}+b_{l}n^{-(l-1)} b 2 n − 1 + . . . + b l − 1 n − ( l − 2 ) + b l n − ( l − 1 ) b 1 b_1 b 1
D ′ = ( D ⋅ n − b 1 ) ⋅ n = b 2 + . . . + b l − 1 n − ( l − 3 ) + b l n − ( l − 2 ) \begin{aligned}
D' =& (D\cdot n -b_1)\cdot n \\
=& b_{2}+...+b_{l-1}n^{-(l-3)}+b_{l}n^{-(l-2)}
\end{aligned}
D ′ = = ( D ⋅ n − b 1 ) ⋅ n b 2 + . . . + b l − 1 n − ( l − 3 ) + b l n − ( l − 2 )
重复取整乘 n，就能依次拿到 b 1 , b 2 , . . . , b l b_1,b_2,...,b_l b 1 , b 2 , . . . , b l
每个八进制数字对应一组三位二进制数字
每个十六进制数字对应一组四位二进制数字
二进制转八进制或十六进制总结：以小数点为界
整数部分从小数点往左，一组一组分，高位补零
小数部分从小数点往右，一组一组分，低位补零
平衡三进制，也称为对称三进制。这是一个广义进位系统。
正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的。它的基数也是 3（因为有三个可能的值）。
10 进制转换为平衡三进制的过程：在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 n 在标准三进制中的表示。当 n 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2。从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 -1，下一位数字再加上 1。而遇到数字 3 （被进位的情况）则应该转换为 0 下一位数字再加上 1。
Python 的实现如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 def _decimal_to_balanced_ternary (self, n ): """辅助函数：将十进制 1-12 转换为 3 位平衡三进制元组（高位在前）""" res = [] for _ in range (3 ): rem = n % 3 if rem == 2 : res.append(-1 ) n = (n + 1 ) // 3 else : res.append(rem) n = n // 3 return tuple (res[::-1 ])
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